这个问题要说清楚，还真不容易。下面我试试看，能不能讲清楚。
1、我们在学微积分时，无论求导，还是积分，最主要的公式不超过10个，
例如：ax^n，sinx，cosx，lnx，e^x，arcsinx，arctanx。
有了这七个的求导、积分公式，再配合三个Rule：
Product Rule = 积的求导法则；Quotient Rule = 商的求导法则；
Chain Rule = 链式求导法则。然后结合几种最基本的变量代换，
就能应付一般的大学考试了。
2、在这些最基本的方法中，最可爱的函数是e^x，它是打不死的李逵，
打不死的吴青华， 无论怎样求导，无论怎样积分，永远不改变函数
的形式，求导前、求导后，积分前、积分后，都是一样的。
其次是sinx和cosx，求导来求导去，积分来积分去，sinx变成cosx，
cosx变成-sinx，连续四次求导，或连续四次积分后，又变回原形。
3、正因为e^x，sinx、cosx有这些特色，我们在很多情况下的微分方程
就不需要解答了：
例一：d²y/dx² + ω²y = 0，表示一个函数求导两次后，跟自己原来
的函数只是相差一个负号和一个常数倍，立刻的联想一定是
正弦或余弦函数。如2sin3x，两次求导后变成-18sin3x，函数
形式一样，相差9倍。那个ω²就是3² 。
y = 2sinωx，y“ = -2ω²sinω²x，y” + y = -2ω²sinω²x + ω²(2sinωx) = 0。
简谐振动就是这类方程的解。
例二：d²y/dx² - ω²y = 0，这个方程不同于例一，连续两次求导后符号
是一样的，它一定不是sinx或cosx，一定是e^x或e^(-x)，这类运动
不是受迫振动，就是阻尼振动。
4、齐次线性常系数常微分方程，因为是常系数，又因为是齐次，还是线性的，
所以，可以肯定这类方程的解不是由e^x、e^(-x)组成，就是由sinx、cosx
组成，或者由它们联合起来的形式组成。
原因很简单：
只有这三个函数，求导来、求导去，相差的只是一个常数的倍数。
因为是线性的，所以三角函数的倍角公式、半角公式不可能出现，也就是
正弦、余弦的自变量不可能发生变化。同样地，e^x、e^(-x)的幂次也不会发
生任何变化。
因为是常系数的，无论求导几次，结果只有常数倍数差。
因为是齐次的，无论多少个解的叠加，结果都是0。
5、正因为是常系数的、线性的，更由于是齐次的，假设解已经求出来了，代入
微分方程后，，因为是齐次的原因，函数可以统统约分约去，剩下的只是一个
代数方程而已，这个代数方程的根可能是实根，可能是虚根。无论是实根，还
是须根，代入方程一定是成立的。由于复数理论中已经证明，共轭conjugate是
同时存在的，也就是共轭根是成对出现的。
6、e^x、e^(-x)、sinx、cosx作为解函数，最简单的组合是加减，最复杂的乘积，
我们通过乘积再配以常数，例如：(c₁x + c₂)(e^x)sin3x + (c₃x + c₄)(e^x)cos3x，
就把所有可能的组合都表达出来了。
综合以上所述，楼主的问题就能解释，就能理解了。
不过，不知道楼主有没有被搞晕了？要仔仔细细考虑后才能理解微分方程的真谛。
常微分方程、偏微分方程、复变函数，就组成了数学物理方法。
也就是说，每一个数学方程的背后，每一个数学方法的背后，都离不开物理的模型，
都离不开物理理论的支持。也就是说，学数学，学深了，其实离不开物理的思想，
离不开物理的方法，所以称为数学物理方法，而方程就称为数学物理方程。
楼主所问的问题，看起来是数学问题，而实质是跟物理相关的。只是一般的教科书，
一般的数学老师，是不可能从物理角度去讲解数理方法的。
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