特征方程法求解二阶常系数齐次线性微分方程的流程及原理

Question

如题所述

Answer 1

求微分方程y''+3y'+2y=3xe^(-x)的通解
解：先求齐次方程
y''+3y'+2y=0的通解：
其特征方程
r²+3r+2=(r+1)(r+2)=0的根r₁=-1，r₂=-2;
故齐次方程的通解为y=c₁e^(-x)+c₂e^(-2x)
设其特解
y*=(ax²+bx)e^(-x)
y*'=(2ax+b)e^(-x)-(ax²+bx)e^(-x)=[-ax²+(2a-b)x+b]e^(-x)
y*''=(-2ax+2a-b)e^(-x)-[-ax²+(2a-b)x+b]e^(-x)
=[ax²-(4a-b)x+2a-2b]e^(-x)
代入原式得：
[ax²-(4a-b)x+2a-2b]e^(-x)+3[-ax²+(2a-b)x+b]e^(-x)+2(ax²+bx)e^(-x)=3xe^(-x)
化简得
(2ax+2a+b)e^(-x)=3xe^(-x)
故2a=3,
a=3/2;
2a+b=3+b=0,
b=-3.
故y*=[(3/2)x²-3x]e^(-x)
于是通解为y=c₁e^(-x)+c₂e^(-2x)+[(3/2)x²-3x]e^(-x)