原函数可导为什么导函数不一定连续？

Question

该题注解处说因为f'（x）不连续，故不可用洛必达法则。
不连续一定不可导，但是题干有说设f（x）可导，这个不是代表f'（x）是一个存在的数吗？为什么要考虑f'（x）连续性问题以及它为什么会不连续？

Answer 1

原函数可导，导函数不一定连续。

举例说明如下：

当x不等于0时,f(x)=x^2*sin(1/x);

当x=0时，f(x)=0

这个函数在(-∞,+∞)处处可导。

导数是f'(x):

当x不等于0时,f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x);

当x=0时，f'(x)=lim{[f(x)-f(0)]/(x-0),x->0}=lim[xsin(1/x),x->0]=0

lim[f'(x),x->0]不存在，所以在x=0这一点处,f'(0)存在但f'(x)不连续。

扩展资料：

函数连续：

1、所有多项式函数都是连续的。各类初等函数，如指数函数、对数函数、平方根函数与三角函数在它们的定义域上也是连续的函数。

2、绝对值函数也是连续的。

3、定义在非零实数上的倒数函数f= 1/x是连续的。但是如果函数的定义域扩张到全体实数，那么无论函数在零点取任何值，扩张后的函数都不是连续的。

4、非连续函数的一个例子是分段定义的函数。例如定义f为：f(x) = 1如果x> 0，f(x) = 0如果x≤ 0。取ε = 1/2，不存在x=0的δ-邻域使所有f(x)的值在f(0)的ε邻域内。直觉上我们可以将这种不连续点看做函数值的突然跳跃。

5、另一个不连续函数的例子为符号函数。

Answer 2

原函数可导，导函数不一定连续。因为有些逗逼函数有跳跃间断点。它强行令这个间断点等于0。函数就连续了。求导也可以求。左右导函数相等。就说明可导。但是这个点的导函数还是个间断点。也是强行让间断点等于算出来的值。比如x^1.5 sin1/x

Answer 3

首先，概念上有个问题
狄利克雷函数D（x）
x为有理数时 D（x）= 1
x为无理数时D（x）= 0
这个函数能帮你辨析一些模糊的概念。构造函数 f（x）= x²D(x) 你可以明显发现。这个函数，除了在x=0处可导连续外，在其他x=0邻域内都不连续。
楼主你遇到的这类题，往往要采用导数定义式去算，洛必达要用，要在x=x0的邻域里用。一点可导，无法使用洛必达，但是，一点可导，却可以用导数定义式来算。凑导数定义式，然后再算，才是正确的解题步骤。

Answer 4

他们都没说到点上，其实那里可以用洛必达求导，到最后是求不出来结果的，所以不能用，用洛必达的话你算出来的是lim 2f’（x^2），就不能继续算了，因为这个f’（x）你不知道是否连续，x趋近于0，值不一定是f（0），这个道理。
祝你考研顺利！

Answer 5

首先连续函数一定可积，这是一个被证明过的定理，这里只想给一个具体解释，至于定理的证明可以看相关的教材。我们知道微积分中研究函数的连续性、可微性和可积性。但连续，可微，可积这三个概念的强弱程度如何呢？我们知道可微一定连续，连续一定可积。本回答被网友采纳