已知函数f(x)的导函数为…其中e为自然对数的底数k为实数且f(x)在R上不是单调函数，求k的取值范围。

Question

答案C。求解，谢谢。

Answer 1

由题意得到f(x)=e^x-k^2/e^x-1/k*x
f(x)在R不是单调函数,即有f'(x)=0在R上有解.
即有e^x+k^2/e^x-1/k=0在R上有解
即有(e^x)^2-e^x/k+k^2=0在R上有解.
设t=e^x>0,则有t^2-t/k+k^2=0有大于0的解.
判别式=(1/k)^2-4k^2>0
1/k^2-4k^2>0
k^4<1/4
-根号2/2<k<根号2/2
有x1+x2=1/k>0,得到k>0
故有0<k<根号2/2
选择C

Answer 2

f(x) 不是单调函数，说明 f '(x) 的值有正有负，
这就要求 e^x+k^2/e^x 的最小值小于 1/k ，
由于 e^x+k^2/e^x>=2|k| （均值不等式），
所以 2|k|<1/k ，
显然 k>0 ，因此 2k<1/k ，2k^2<1 ，k^2<1/2 ，
解得 0<k<√2/2 。

选 C 。