已知函数f(x)的导函数f′(x)=ex-1(e为自然对数的底数，f(x)解析式...

Question

已知函数f(x)的导函数f′(x)=ex-1(e为自然对数的底数，f(x)解析式无常数项) (1)求f(x)的最小值; (2)若对于任意的x∈[0，2]，不等式f(x)≥ax恒成立，求实数a的取值范围.

Answer 1

解答:解:(1)∵函数f(x)的导函数f′(x)=ex-1(e为自然对数的底数，f(x)解析式无常数项)，
∴f(x)=ex-x.
由f′(x)＞0，可得x＞0;f′(x)＜0，可得x＜0，
∴f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，
∴x=0时，f(x)的最小值为1;
(2)不等式f(x)≥ax恒成立，等价于(a+1)x＜ex，
当x=0时，上述不等式显然成立，故只需考虑x∈(0，2]的情况.
将(a+1)x＜ex变形为a＜
ex
x
-1.
令g(x)=
ex
x
-1，则g(x)的导函数g′(x)=
(x-1)ex
x2
，
令g′(x)＞0，解得x＞1;令g′(x)＜0，解得x＜1.
从而g(x)在(0，1)内单调递减，在(1，2)内单调递增.
∴当x=1时，g(x)取得最小值e-1，
从而实数a的取值范围是(-∞，e-1].