已知f(x)二阶可导,且f(x)是[a,b]上的凹函数,又知w(x)是[a,b]上的非负函数,且∫b→a w(x)=1,

Question

1.求证:b≥∫b→a x*w(x)≥a
2∫b→a w(x)*f(x)≥f[∫b→a x*w(x)]

Answer 1

1、a<=x<=b，而w(x)>=0，不等式乘以w(x)得
aw(x)<=xw(x)<=bw(x)。在[a，b]上积分有
b=b*∫b→a w(x)dx≥∫b→a x*w(x)≥a*∫b→a w(x)dx=a。
2、由于f(x)是凹函数，由Jensen不等式，取xi=a+i(b-a)/n，i=1,2,...，n，dxi=(b-a)/n
f[(求和(i=1到n)w(xi)xi*dxi)/(求和(i=1到n)w(xi)*dxi)]
<=[求和(i=1到n)w(xi)f(xi)*dxi]/[求和(i=1到n)w(xi)*dxi]
令n趋于无穷并利用积分的定义以及f(x)的连续性知道有
f[(∫b→a x*w(x)dx)/（∫b→a w(x)dx）]<=[∫b→a w(x)*f(x)dx]/[∫b→a w(x)dx]，
注意到条件即知结论成立。

Answer 2

∫b→a w(x) 这个箭头是减号吗？