设奇函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有2阶导数,且f(1)=1,证明存在η∈(-1,1),使得f''(η)+f'(η)=1

Question

如题所述

Answer 1

由于f(x)是奇函数，所以f(0)=0且f'(x)为偶函数，因此f(-1)=-f(1)=-1。构造函数g(x)=f(x)+f'(x)，对g(x)在[-1,1]上用拉格朗日中值定理，存在η∈(-1,1)使得g(1)-g(-1)=g'(η)[1-(-1)]，而g(1)-g(-1)=f(1)+f'(1)-f(-1)-f'(-1)=2f(1)=2，所以2[f'(η)+f''(η)]=2，即f'(η)+f''(η)=1。

Answer 2

这个是2013考研数学二的一个原题第二问！ 主要考拉格朗日中值定理！ f''(η)+f'(η)=1变成 f''(η)+f'(η)-1=0即构建 f'(x)+ f(x)-x的导数为零 令F(x)= f'(x)+ f(x)-x 其他思路和楼上差不多！