已知函数f(x)的定义域为R,且对任意x,y属于R都有f(x+y)=f(x)+f(y) 若x>0时,有f(x)<0

Question

求证:f(x)的奇偶性

答：已知函数f(x)对任意的x,y属于R,总有f(x)+f(y)=f(x+y)，
则当x=y=0时，有f(0)+f(0)=f(0+0)=f(0)，即得f(0)=0

为什么f（0）要=0 如果函数是偶函数的话 f（0）也不等于0

Answer 1

解：因为对任意x,y属于R都有f(x+y)=f(x)+f(y)
则当x=y=0时，有f(0)+f(0)=f(0+0)=f(0)，即得f(0)=0
令y=-x，则f(x)+f(y)=f(x)+f(-x)=f(x+(-x))=f(0)=0
所以f(x)=-f(x)
所以f(x)是奇函数
又当x>0时,有f(x)<0
所以f(x)在R上不能恒为0
所以f(x)只能是奇函数（既是奇函数又是偶函数的函数只有f(x)=0,x的定义域关于原点对称）

对于你提的问题实在不明白，f(0)=0是根据已知条件得出来的，又不是附加上去的，过程你自己也给出来了。追问

怎么根据已知条件得出来的？ f（0）+f（0）=f（0+0）= f（0） 我明白 但是为什么f（0）=0 题目没说啊 “则当x=y=0时，有f(0)+f(0)=f(0+0)=f(0)，即得f(0)=0” “即得”是怎么得出来的？我对数学比较迟钝。

追答

这...，你看不出来吗？f(0)+f(0)=f(0),左右减去一个f(0),等式不就变成f(0)=0吗

Answer 2

那你就令x=y=o,(反正x,y属于R），把x=y=0代入f(x)+f(y)=f(x+y)，f（0）＋f（0）＝f（0），两边同时减去一个f（0），结果f（0）＝0，
　 　 偶函数需要定义域关于原点对称，函数图象关于Y轴对称，f（0）＝0即当X＝0时Y＝0，也跟是不是偶函数没什么关系呀，因为（0,0）本来就在Y轴上，对称后还在（0,0）上，所以 如果函数是偶函数的话 ，f（0）等于0也没什么关系