设数列yn=根号a十yn一1 ,yo=0,a>o,n=1、2……用单调有界定理证明{yn}收

Question

并求极限

Answer 1

yn^2=a+ y（n -1），
y0=0，y1=根a >0 =y0，且 y1<根（2a）
利用归纳法证明，(1+根(1+4a))/2 > yn > y(n-1) >y1>y=0
假设 =<n时，上述结论成立考虑n+1时
y(n+1)/yn = 根（(a+yn)/ （a+y(n-1) ) >1 (由于yn> y(n-1))
所以 yn单调递增且yn>0
假设对于任意n，有 yn <(1+根(1+4a))/2
考虑 y（n+1)= 根（a+ y(n-1)）< 根 （a+(1+根(1+4a)/2）=根（1/4（4a+2+2根（1+4a）））= 1/2根（根（1+4a）+1）^2)= 1/2 *(1+根(1+4a))
所以对于n+1也有 y（n+1） <(1+根(1+4a))/2
故{yn}为单调递增数列且有界
那么 设 n ->正无穷时，lim yn = lim y（n-1）=k
k^2=k+a
解得 k = 1/2 *(1+根(1+4a))