设X1=√3，X(n+1)=√3+Xn，n=1，2，3…证明数列{Xn}是单调有界数列

Question

如题所述

Answer 1

证这类题先要在草稿纸上求出上界
由a=√(3+a)解得a=(1+√13)/2
下面证明xn<(1+√13)/2
当n=1时，x1=√3<(1+√13)/2
假设当n=k时，有xk<(1+√13)/2
则当n=k+1时，有x(k+1)=√(3+xk)<√[3+(1+√13)/2 ]<√(7+√13)/2=√(14+2√13)/4
=√(1+√13)²/4=(1+√13)/2
即x(k+1)<(1+√13)/2
由数学归纳法知对任意正整数n都有xn<(1+√13)/2
所以xn有上界是(1+√13)/2