问一道可积的充要条件

Question

f（x）在【a，b】上有界，证明函数黎曼可积的充要条件是：对任意ε＞0，存在【a，b】上满足以下条件的连续函数g（x)，h(x)
(1)g(x)≤f（x）≤h（x）任意x∈【a，b】
∫（a→b）(h(x)-g(x))dx<ε

Answer 1

证明：必要性，若f在[a,b]上黎曼可积，设该积分值为S
则对任意ε>0，存在分割π：a=x(0)<x(1)<...<x(n)=b，使得
∑M(i)△x(i)-S<ε/4，其中M(i)为[x(i-1),x(i)]上的上确界，△x(i)=x(i)-x(i-1)
定义[a,b]上的阶梯函数P(x)=M(i),x∈[x(i-1),x(i))；P(b)=M(n)
记M=max{|M(i+1)-M(i)|:i=1,2,3...n-1}，取δ<min{ε/(2(n-1)M)，△x(i)|i=1,2,3...n}
对阶梯函数P(x)作如下改动，若M(i+1)>M(i)，则直线连接点(x(i)-δ，M(i))和(x(i),M(i+1))
否则直线连接(x(i)，M(i))和(x(i)+δ,M(i+1))，这样便得到一个连续折线，记该函数为h(x)
显然有h(x)≥P(x)≥f(x)，任意x∈[a,b]，且∫(h(x)-f(x))dx=∫(h(x)-P(x))dx+∫(P(x)-f(x))dx
而∫(h(x)-P(x))dx=(∑δ|M(i+1)-M(i)|)/2≤δ(n-1)M/4<ε/4
∫(P(x)-f(x))dx=∫P(x)dx-∫f(x)dx=∑M(i)△x(i)-S<ε/4
即有∫(h(x)-f(x))dx<ε/2
类似有下和S-∑m(i)△x(i)<ε/4，其中m(i)为[x(i-1),x(i)]上的下确界
同理有[a,b]上的连续函数g(x)，满足g(x)≤f(x)，任意x∈[a,b]，且∫(f(x)-g(x))dx<ε/2
即g(x)≤f(x)≤h(x)，任意x∈[a，b]
且∫(a→b)(h(x)-g(x))dx<∫(h(x)-f(x))dx+∫(f(x)-g(x))dx<ε
充分性，设A，B分别为f在[a,b]上的上积分和下积分， 若对任意ε>0
存在h,g满足上述条件，则有∫g(x)dx≤B≤A≤∫h(x)dx
即得A-B≤∫(a→b)(h(x)-g(x))dx<ε，令ε->0，便知A=B
所以f(x)在[a,b]上黎曼可积。