为何数列有界必然收敛，有界必然收敛？

Question

如题所述

Answer 1

1、数列收敛与存在极限的关系：

数列收敛则存在极限，这两个说法是等价的。

2、数列收敛与有界性的关系：

数列收敛则数列必然有界，但是反过来不一定成立。

如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。

相关内容解释

一、有界函数的性质：

1、单调性。

闭区间上的单调函数必有界。其逆命题不成立。

2、连续性。

闭区间上的连续函数必有界。其逆命题不成立。

3、可积性。

闭区间上的可积函数必有界。其逆命题不成立。

4、有界性。

5、周期性。

二、设函数f(x)是某一个实数集A上有定义，如果存在正数M 对于一切X∈A都有不等式|f(x)|≤M的则称函数f(x)在A上有界，如果不存在这样定义的正数M则称函数f(x)在A上无界。

设f为定义在D上的函数，若存在数M（L），使得对每一个x∈D有： ƒ(x)≤M（ƒ(x)≥L）则称ƒ在D上有上（下）界的函数，M（L）称为ƒ在D上的一个上（下）界。