矩阵相似的充分与必要条件

Question

如题所述

Answer 1

设A，B是数域P上两个  矩阵：

(1) A与B相似的充分必要条件是它们的特征矩阵  与  等价。

(2) A与B相似的充分必要条件是它们有相同的不变因子。

(3) 两个同级复数矩阵相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子。

性质

(1) 若A相似于B，则A等价于B（即A可通过初等变换化为B）

(2) 若A相似于B，则tr(A)=tr(B)

(3) 若A相似于B，则|A|=|B|

以上三条反之皆不成立。

扩展资料：

相似是矩阵间的一种重要关系，这种关系具有以下三个性质：

1.反身性：  。这是因为  （其中  为单位矩阵，下同）。

2.对称性：如果  ，那么  。事实上如果  ，那么有X使  ，令  ，就有  ，所以  。

特别规定零矩阵的秩为零。

显然rA≤min(m,n) 易得：

若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。

由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)≠0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。

由行列式的性质1(1.5[4])知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。

参考资料：百度百科——矩阵

参考资料：百度百科——矩阵的秩