∫f(x)g(x)dx这种类型的不定积分该怎么做

Question

譬如加减有这样的公式：∫[f(x)+g(x)]dx=∫f（x）dx+∫g（x）dx，那么乘法有没有类似的公式？如果没有该怎么做？譬如这种题目：∫[e^arctanx/(1+x^2)]dx.

注意我想知道的是这种两个函数的积的不定积分的解法，而不只是这道题的解题步骤。谢谢！

Answer 1

∫[e^arctanx/(1+x^2)]dx=∫[e^arctanx]d(arctanx)=e^arctanx

∫f(x)g(x)dx这种类型的不定积分一般可变形为∫f(G(x))g(x)dx,其中G(x)为g(x)原函数，则
∫f(G(x))g(x)dx=∫f(G(x))dG(x)=F(G(x))追问

第一步里取原函数时，应该取哪个函数的原函数？

追答

e^arctanx/(1+x^2)=e^arctanx * 1/(1+x^2)，取 1/(1+x^2) 原函数 arctanx
这个是常见函数，记着就好。也只有记着。

追问

所以∫f(G(x))dG(x)
=∫e^arctan(arctanx)*d(arctanx)?

追答

不是啊。。。这个f(G(x))只是个意思。这里的f和前面的f不一样。

∫f(G(x))dG(x)=∫e^arctanx*d(arctanx)，这里的f(x)=e^x

追问

是选g（x）的原函数和还是选f（x）的原函数有没有什么规则？

追答

这个你要观察啊。。比如∫[e^arctanx/(1+x^2)]dx 这里 e^arctanx 和 1/(1+x^2)， e^arctanx原函数你求不来，1/(1+x^2)原函数 arctanx 显而易见，且恰在e^arctanx 中。当然取1/(1+x^2)原函数

Answer 2

乘法的话，有分部积分法可用
令G'(x)=g(x)
则∫f(x)g(x)dx=∫f(x)d[G(x)]
=f(x)G(x)-∫G(x)d[f(x)]追问

也感谢你！

追答

客气