求曲线绕y轴旋转体积的问题。

Question

如题所述

Answer 1

解
图形绕y轴旋转，则该立体可看作圆柱体（即由x=1,y=e,x=0,y=0
所围成的图形绕y轴所得的立方体）
减去由曲线y=e^x,y=e,x=0所围成
的图形绕y轴所得的立体，因此体积为
v=π*1²*e-∫【1→e】[π(ln
y)²
dy]
{注：此处∫【1→e】表示上限为e，下限为1的定积分，下同}
=πe-∫【0→1】[πx²
d(e^x)]
下面对∫【0→1】[πx²
d(e^x)]用分部积分法
∫【0→1】[πx²
d(e^x)]
=π（1²*e-0)-π[∫【0→1】[e^x
dx²]
=πe-2π[∫【0→1】[e^x*x
dx]
=πe-2π[∫【0→1】[x
de^x]
=πe-2π(1*e-0)+2π[∫【0→1】[e^x
dx]
=πe-2πe+2π(e-1)
=πe-2π
于是v=πe-∫【0→1】[πx²
d(e^x)]
=πe-（πe-2π）
=2π