求下列已知曲线所围成的图形,按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积：

Question

y=1/10x^2,y=1/10x^2+1,y=10,绕Y轴

Answer 1

解：见下图，积分区间为黄绿色部分的面积绕y轴旋转所得旋转体的体积V；

V=2π∫(0,3√10)x*(y1-y2)dx+2π∫(3√10,10)x*(y-y2)dx

=2π∫(0,3√10)xdx+2π∫(3√10,10)x(10-x^2/10)dx

=πx^2](0,3√10)+2π*[5x^2-(1/40)x^4](3√10,10)

=90π+2π[5(100-90)-(1/40)(100-90)*(100+90)]

=90π+2π(50-47.5)

=95π。

Answer 2

设v1是y=1/10x^2与y=10所围图形绕y轴旋转所得体积：

v1=

V2是y=1/10x^2+1与y=10所围图形绕y轴旋转所得体积，把上式积分下现改为1，V2=pi/20*9999

 

所以答案是v1-v1=pi/20