定积分，大一高数题，求各路大神帮忙

Question

如题所述

Answer 1

解：2大题(1)小题，根据定积分的几何意义，积分表示的是以原点为圆心、半径为R的圆在第一象限的面积，∴其值为(1/4)πR^2。
(2)小题，∵在积分区间，cosx是偶函数，∴根据定积分的性质，有∫(-π/2,π/2)cosxdx=2∫(0,π/2)cosxdx。
3大题(1)小题，∵x∈[0,π]时，∴0≤sinx≤1，1≤1+sinx≤2。∴∫(0,π)dx≤∫(0,π)(1+sinx)dx≤2∫(0,π)dx，即π≤∫(0,π)(1+sinx)dx≤2π。
(2)小题，∵0≤x≤2，x^2-x=(x-1/2)^2-1/4，-1/4≤x^2-x≤2。∴e^(-1/4)≤e^(x^2-x)≤e^2。∴-2e^2≤∫(2,0)e^(x^2-x)dx≤-2e^(-1/4)。
5题，视“1/n”为dx、i/n为x(i=1,2,……，n-1)，则0<i/n<1。∴根据定积分的定义，原式=∫(0,1)sin(πx)dx。供参考。