为什么数集{ f(x)| x∈[ a, b]}有界？

Question

如题所述

Answer 1

由有界性定理知数集{f(x)|x∈[a,b]}有界。设sup{f(x)|x∈[a,b]}=M,用反证法:假设对于任意一个x∈[a,b],有f(x)<M显然,函数M-f(x)在[a,b]上连续,且在
[a,b]上恒为正,即对任意一个x∈[a,b],有M-f(x)>0,于是M-f(x)是在[a,b]上有
意义的连续函数。再根据有界性定理知,函数
R,对于任意一个x∈[a,b],都有M-f(x)在[a,b]上有界,也就是存在0<C∈
C0<M-f(x)<C或f(x)<M-
这与是数集{f(x)|x∈[a,b]}的上确界相矛盾。于是存在x0∈[a,b],使f(x0)=M,即函数f(x)在[a,b]上可取到最大值