已知函数f(x)的定义域是x不等于0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且当x大于1时

Question

已知函数f(x)的定义域是x不等于0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且当x大于1时f(x)大于0，f（2）=1,
1:求证f(x)是偶函数
2：求证f（x)在零到正无穷上是增函数
3：解不等式f(2x^2-1)小于2

Answer 1

1.
f(x1x2)=f(x1)+f(x2),令x2=1.于是
f(x1)=f(x1)+f(1),则f(1)=0
f(-1*-1)=2f(-1)=0,所以f(-1)=0
所以f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x),所以是偶函数.
2.
任取x1>x2属于(0,无穷大).
f(1)=f(x)+f(1/x),-f(x)=f(1/x)
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(1/x2)=f(x1/x2)>0.所以是增函数.
3.
f(4)=f(2)+f(2)=2
因为f是偶函数并且在(0,无穷大)递增.
所以f(2x^2-1)<2=f(4)等价于
-4<2x^2-1<4
于是 -根号10/2<x<根号10/2

Answer 2

（1）由条件
f(x)+f(x)=f(x^2)
f(-x)+f(-x)=f(x^2)
所以是偶函数。

（2）设x2>x1>0.
由条件
f（x2）=f（x1）+f(x2/X1)
x2/x1>1 又x>1时f（x）>0
所以f（x2）=f（x1）加一个正的数.
所以得证单调递增。

（3）f（4）=2f（2）=2

所以就是2x^2-1在-4到4之间，且不为零。
所以就是 负的二分之根号五 到 正的二分之根号五
挖掉两个点： 正负二分之根号二