记F(x)=sinx/x由于lim(x--0) sinx/x =1，F在R上有定义，取F(0)=1下证F在0处可导，用洛必达法则泰勒公式可得：
lim(x--0) (F(x)-F(0))/(x-0) =lim(x--0) (sinx/x-1)/x = lim(x--0) (sinx-x)/x^2=lim(x--0) (cosx-1)/2x =lim(x--0) (-sinx/2) =0
即F'(0)=0=f(0)当x不为0时，f(x)=F'(x)=cosx/x-sinx/x^2又 再用洛必达法则有lim(x--0) f(x) =lim(x--0) (xcosx-sinx)/x^2 =lim(x--0) (-xsinx)/2x =0
因此f可以记作 f(x)=cosx/x-sinx/x^2 x在R上取值以上lim(x--0)表示x趋于0时的极限由分部积分法，注意到f'(2x)的一个原函数为f(2x)/2，
有/ xf'(2x)dx=xf(2x)/2- / (f(2x)/2)dx=xf(2x)/2- / (f(2x)/4)d(2x)=xf(2x)/2- F(2x)/4 +c=cos2x/4-sin2x/8x-sin2x/8x +c=cos2x/4-sin2x/4x +c，其中c为任意常数以上 /...dx表示求原函数。
扩展资料：
求不定积分的技巧方法：
分部积分法釆用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取A、v时，通常基于以下两点考虑：
（1）降低多项式部分的系数。
（2）简化被积函数的类型。
用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。
简单分析一下，答案如图所示
不定积分∫X［f＇（X）］dX＝(xcosx-2sinx)/x+C。
解答过程如下：
f（x）的一个原函数为sinx/x
所以f(x)=(sinx/x)'=(xcosx-sinx)/x²
∫f(x)dx=sinx/x+C
所以∫xf'(x)dx
=∫xdf(x)
=xf(x)-∫f(x)dx
=x[(xcosx-sinx)/x²]-(sinx/x+C)
=(xcosx-sinx)/x-sinx/x+C
=(xcosx-2sinx)/x+C
扩展资料
常用积分公式：
1）∫0dx=c
2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c
3）∫1/xdx=ln|x|+c
4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5）∫e^xdx=e^x+c
6）∫sinxdx=-cosx+c
7）∫cosxdx=sinx+c
8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c
9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c
10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c
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