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    • 已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），且f（13）=1．（1）求f（1

    已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），且f（13）=1．（1）求f（1）与f（3）； （2）若f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范围．

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    推荐答案   推荐于2016-01-25
    （1）令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1），
    ∴f（1）=0．
    因此，f（1）=f（3×
    1
    3
    ）=f（3）+f（
    1
    3
    ）=0，可得f（3）=-f（
    1
    3
    ）=-1；
    （2）∵2=1+1=f（
    1
    3
    ）+f（
    1
    3
    ）=f（
    1
    3
    ×
    1
    3
    ）=f（
    1
    9
    ）
    ∴不等式f（x）+f（2-x）＜2可化为f[x（2-x）]＜f（
    1
    9
    ），
    由f（x）为（0，+∞）上的减函数，得
    x＞0
    2?x＞0
    x(2?x)＞
    1
    9
    ，解之得1-
    2
    2
    3
    ＜x＜1+
    2
    2
    3
    ，
    ∴x的取值范围为（1-
    2
    2
    3
    ，1+
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