实数连续性定理

Question

如题所述

Answer 1

实数连续性定理包括：确界存在定理、单调有界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、闭区间套定理、柯西收敛准则。

数系的基本定理也称实数系的完备性定理、实数系的连续性定理，它们彼此等价，以不同的形式刻画了实数的连续性，它们同时也是解决数学分析中一些理论问题的重要工具，在微积分学的各个定理中处于基础的地位。

7个基本定理的相互等价不能说明它们都成立，只能说明它们同时成立或同时不成立，这就需要有更基本的定理来证明其中之一成立，从而说明它们同时都成立。

引进方式主要是承认戴德金公理，然后证明这7个基本定理与之等价，以此为出发点开始建立微积分学的一系列概念和定理。在一些论文中也有一些新的等价定理出现，但这7个定理是教学中常见的基本定理。

实数完备性基本定理的等价性实数基本定理等价性的路线，证明按以下三条路线进行：

1：确界原理→单调有界原理→区间套定理→柯西收敛准则→确界原理。

2：区间套定理→致密性定理→柯西收敛准则。

3：区间套定理→有限覆盖定理→区间套定理。