什么叫实数的连续性?

Question

如题所述

Answer 1

实数连续性，是说实数对极限运算封闭
可以把极限运算看成无穷次算术（加减乘除）运算，
有理数（分数）作无穷次算术运算，结果不一定是有理数（可能是无理数）
为了极限运算的结果能够存在，把有理数极限运算的结果叫做实数（包括有理数和无理数）
实数作极限运算，结果仍然在实数范围内，这个就叫实数的连续性（完备性）

Answer 2

实数的连续性是说实数是紧密相连不能被割开。形象的说, 一刀砍到数轴上一定会砍到实数。

Answer 3

实数的连续性，从几何角度理解，就是实数全体布满整个数轴而没有“空隙”。

Answer 4

若实数不连续，则存在a、b是相邻的两个实数，则（a+b）/2也为实数，但它介于a、b之间，所以a、b不相邻。故实数连续。
若有理数不连续，则存在a、b是相邻的两个有理数，则（a+b）/2也为有理数，但它介于a、b之间，所以a、b不相邻。故有理数连续。
那为什么说有理数不连续？
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实数系的基本定理——实数系的连续性，有多种表达方式：dedkind
切割定理，确界存在定理，单调有界数列收敛定理，闭区间套定理，bolzano-weierstrass
定理，cauchy
收敛原理和cantor定理。这些定理是等价的，其中每一个都可以作为极限论的出发点，建立起整个极限理论。
确界定理:在实数系r内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。
有理数集合0
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