如何证明戴得金实数连续性定理

Question

如题所述

Answer 1

实数的戴得金分法是在有理数的基础上建立的，将所有有理数分成两个集合 A,A`，使得对A中的任意元素a和A`中的任意元素a`，都有a<a`，则只存在三种情况：
1.A中有最大，A`中无最小
2.A中无最大，A`中有最大
3.A中无最大，A`中无最小
则每出现第三种情况，就定义了一个新的数，这个数比A中所有数要大，比A`中所有数要小，这就是一个无理数。而在实数轴上任一找一个切点，都可以获得一种分割有理数的方法，都可以定义一个无理数，所以实数和一条实数轴上的点一一对应，所以实数是连续的。

Answer 2

实数的Dedekind分法是在有理数的基础上建立的，将所有有理数分成两个非空集合 A,A`，并且
1）任何一个有理数必属于而且只属于A或A'之一。
2）A中的任何元素a都小于A’中的任何元素a'。
则我们称集合A，A'是有理数集的一个分割，记做A│A',称A为分割的下类，A'为分割的上类。
有理数的分割定义的数可能是有理数，也可能是无理数，统称实数。
狄台金定理：对实数集的任一分割A│A',存在产生这个分割的实数b,这个数 b：1）或者是下类 A中的最大数；2）或者是上类A’的最小数。
证明：（反证法）对实数集的任一分割A│A'，设B是A包含的有理数集合，B'是A'包含的有理数集合。因为Q包含于R，所以B│B'是有理数集的一个分割，该分割定义了一个实数a。它应在A或A'两者之一，假定它落在A，我们要证明1）实现，即a是下类A的最大值，不然我们不妨设下类A有最大值b，b>a,根据补助定理必存在有理数c使得a<c<b，因为c<b,所以c属于a的下类A,所以c∈B，但是c>a,在定义数a的分割下类B中出现了一个比a还大的有理数，矛盾。因此a=b,即a为下类中的最大值。
同理可证2)若上类有最小值，则最小值就是a。
显然，下类A中有最大值，同时A'有最小值，这个不可能的（利用补助定理容易证明）。
实数这个性质称为完备性或连续性（或密接性）。
附：补助定理：任何两个实数a 和b之间必有一个实数c（甚至可以是有理数），即存在c使得a<c<b,因此有无穷多个，所以实数是稠密的。