求极限什么时候不能用等价无穷小替换

Question

下面为什么不能直接用ln(1+1/x) ~1/x呢

Answer 1

1、当被代换的量作为加减的元素时就不可以使用，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换。

2、被代换的量，在取极限的时候极限值不为0时候不能用等价无穷小替换。

在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的。

扩展资料：

等价无穷小替换通常计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。

求极限时，使用等价无穷小的条件：

1、被代换的量，在取极限的时候极限值为0；

2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

Answer 2

用等价无穷小代换的大前提：用等价无穷小代换的量必须它本身就是无穷小。
原则：等价无穷小的代换，一定是要在乘除的情况下。对于加减的代换，必须是先进行极限的四则运算后，才可以考虑是否用等价无穷小代换，否则容易造成某些高阶无穷小，如：o(x) o(x²)的丢失，从而造成计算错误。

手打——monvilath

Answer 3

这里可以代入，这就是极限的四则运算法则
但是如极限lim(x->0)(sinx-x)/x^3中是绝对不可以把sinx换成x计算的，原因是这两者是等价无穷小，如果替换则变成sinx-x~x-x=0, 即sinx-x~0, 这是错误的, 没有任何函数与0是等价的

Answer 4

直接原因：用了之后负号前极限不存在，不能用。
根本原因：等价无穷小精度不够，用泰勒公式多展开几项就可以做了。追问

泰勒展开两项后，符号前的极限是无穷，还是不存在，为什么可以用呢？

但答案是对的

追答

我只是说极限存在是一定可以的

极限不存在不确定，

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Answer 5

可以用“等价无穷小量”替换求解，但得注意取前几项【即n=1,2,或者其它】作为“等价”表达式。
∵x→0时，ln(1+x)=x+O(x)=x-x²/2+O(x²)=x-x²/2+x³/3+O(x³)=……，∴x、x-x²/2、x-x²/2+x³/3、……，均为ln(1+x)的“等价无穷小量”表达式。
本题中，1/x→0，出现了“x²”，不妨取“ln(1+1/x)~1/x-1/(2x²)”【当然，取“ln(1+1/x)~1/x-1/(2x²)+1/(3x³)”亦可】，
∴原式=lim(x→∞){x²[1/x-1/(2x²)]-x)}=-1/2。
供参考。追问

请问这句什么意思？

追答

题干中出现了“x²”的表达式，即出现的2次因式，等价无穷小量至少取“n=2”的表达式。