为何x－tanx在(0，兀)上恒大于0

Question

如题所述

Answer 1

对于这种问题最好的方法就是在（0，π）上计算他的最小值，方法如下。
1，用y = x - tanx。
2，求导，目的在于看一下y在（0，π）之间的大体变化。y’= 1 - 1/（cosx*cosx）
3，可以出来y的导数在（0，π）直接是恒小于0的，也就是说y是递减的。
在π时取得最小值 为π，所以是恒大于0的。

Answer 2

解：（1）显然，在区间[π/2，π)上，tanx<0，故x-tanx>0。

（2）在区间（0，π/2）上，求导，d(x-tanx)=1-cotx，求极值x=π/4,当x<π/4时，cotx>1，所以1-cotx<0，原函数为减函数；当π/4<x<π/2时，cotx<1，1-cotx>0，原函数为增函数。因此，原函数在x=π/4处有极小值，代入原函数：π/4-tan(π/4)<0。

所以不是恒大于0 啊。

Answer 3

一开始...请允许我吐槽一下那个“0~兀”...“兀”是什么鬼...哈哈哈哈

然后言归正传，遇到这样的题，你可以先画出两个函数在（0，π）上的图像，而x-tanx在（0，π）上恒大于0，在图上的反应一定是，y=x的图像在（0，π）这个区间上，始终在y=tanx 这个图像的上方。

建立直角坐标系，然后画出y=x这个函数，这很简单。


然后在同一个直角坐标系中，画出y=tanx这个函数的图像。

然后你会得到一个让你觉得不对劲的图像。

a. y=tanx的函数在（0，π/2）上似乎一直在y=x之上。

b. tanx在（0，π）这个区间上，值的变化范围是（-∞，+∞），它会在（0，π）这个区间一辈子小于y=x这个函数？

结论，x-tanx在（0，π）上，并不恒大于0。

当然，这类题画图，是不能辨明y=x和y=tanx在原点以后双方的大小关系，需要通过导数来比较在0处的斜率变化情况。

Answer 4

首先对该函数求导：得到导数为：1-1/（cosx）^2; 由于（cosx）^2在0到pi之间小于1，所以导数恒小于0，该函数为单调递减函数，在PI处取得最xiao值PI，所以恒大于0.

Answer 5

证明如下：
令f(x)=x-tanx
则f(x)对x求导为f`(x)=1-[1+(tanx)^2]=-(tanx)^2<0
因为f(x)导函数恒小于零，f(x)在定义域内单调递减
又因为f(x)在[0,π/2),(π/2,π]上连续，f(π)=π-tanπ=π>0，
lim(x→π/2)f(x)=π/2-+无穷=-无穷<0
得结论与题设不符，f(x)在(0,π)上不恒大于零
证毕