高斯做出17边形有什么意义？

Question

如题所述

Answer 1

关于正十七边形的画法（高斯的思路，本人并非有意剽窃^_^）：
<br>有一个定理在这里要用到的：
<br>若长为|a|,|b|的线段可以用几何方法做出来，那么长为|c|的线段也能用几何方法做出的，
<br>其中c是方程x^2+ax+b=0的实根。
<br>上面的定理实际上就是在有线段长度|a|和|b|的时候，做出长为sqrt(a^2-4b)的线段。
<br>（这一步，大家会画吧？）
<br>而要在一个单位圆中做出正十七边形，主要就是做出长度是cos(2pai/17)的线段。
<br>下面我把当年高斯证明可以做出cos(2pai/17)的证明给出，同时也就给出了具体的做法。
<br>设a=2[cos(2pai/17)+cos(4pai/17)+cos(8pai/17)+cos(16pai/17)]>0
<br>a1=2[cos(6pai/17)+cos(10pai/17)+cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]<0
<br>则有a+a1=-1,a*a1=-4,即a,a1是方程x^2+x-4=0的根，所以长为|a|和|a1|的线段可以做出。
<br>令b=2[cos(2pai/17)+cos(8pai/17)]>0 b1=2[cos(4pai/17)+cos(16pai/17)]<0
<br>c=2[cos(6pai/17)+cos(10pai/17)]>0 c1=2[cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]<0
<br>则有b+b1=a b*b1=-1 c+c1=a1 c*c1=-1
<br>同样道理，长度是|b|,|b1|,|c|,|c1|的线段都可以做出来的。
<br>再有2cos(2pai/17)+2cos(8pai/17)＝b [2cos(2pai/17)]*[2cos(8pai/17)]=c
<br>这样，2cos(2pai/17）是方程x^2-bx+c=0较大的实根,
<br>显然也可以做出来，并且作图的方法上面已经给出来。

Answer 2

证明如果费马数k为质数，那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分。但是，高斯本人并没有用尺规做出正十七边形，事实上，完成证明之后正十七边形的做法对数学研究者是显而易见的。第一个真正的正十七边形尺规作图法是在1825年由约翰尼斯·厄钦格

Answer 3

高斯在童年时代就表现出非凡的数学天才。年仅三岁，就学会了算术，八岁因运用等差数列求和公式而深得老师和同学的钦佩。大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件。解决了两千年来悬而未决的难题，1799年以代数基本定理的四个漂亮证明获博士学位。

Answer 4

正十七边形是指几何学中有17条边及17只角的正多边形。正十七边形的每个内角约为158.823529411765°，其内角和为2700°，有119条对角线。最早发现其形状可用尺规作图法作出的是高斯。

Answer 5

是世人明白了尺规作图的本质:只有有理数的二次根下添加域内的数才能通过尺规作出.