这个高斯尺规作图做正17边形运用什么原理

如题所述

第1个回答  2013-10-02
关于高斯正17边形的画法,有一个定理在这里要用到的:
若长为|a|,|b|的线段可以用几何方法做出来,那么长为|c|的线段也能用几何方法做出的,
其中c是方程x^2+ax+b=0的实根。
上面的定理实际上就是在有线段长度|a|和|b|的时候,做出长为sqrt(a^2-4b)的线段。
(这一步,大家会画吧?)
而要在一个单位圆中做出正17边形,主要就是做出长度是cos(2π/17)的线段。
下面我把当年高斯证明可以做出cos(2π/17)的证明给出,同时也就给出了具体的做法。
设a=2[cos(2π/17)+cos(4π/17)+cos(8π/17)+cos(16π/17)]>0
a1=2[cos(6π/17)+cos(10π/17)+cos(12π/17)+cos(14π/17)]<0
则有a+a1=-1,a*a1=-4,即a,a1是方程x^2+x-4=0的根,所以长为|a|和|a1|的线段可以做出。
令b=2[cos(2π/17)+cos(8π/17)]>0 b1=2[cos(4π/17)+cos(16π/17)]<0
c=2[cos(6π/17)+cos(10π/17)]>0 c1=2[cos(12π/17)+cos(14π/17)]<0
则有b+b1=a b*b1=-1 c+c1=a1 c*c1=-1
同样道理,长度是|b|,|b1|,|c|,|c1|的线段都可以做出来的。
再有2cos(2π/17)+2cos(8π/17)=b [2cos(2π/17)]*[2cos(8π/17)]=c
这样,2cos(2π/17)是方程x^2-bx+c=0较大的实根,
显然也可以做出来,并且作图的方法上面已经给出来了
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