已知函数fx=lnx,gx=二分之一ax的平方加bx ,若b=2且函数hx=fx-gx存在单调递减区间，求a的取值范围

Question

如题所述

Answer 1

已知函数f(x)=lnx，g(x)=(1/2)ax²+bx ,若b=2且函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围.
解：h(x)=lnx-(1/2)ax²-2x；定义域：x>0.h'(x)=(1/x)-ax-2=(-ax²-2x+1)/x；当a=0时h'(x)=(-2x+1)/x，由-2x+1≦0，得x≧1/2；即当a=0时，在x≧1/2时h(x)单调减因此a=0满足题意。当a≠0时，h'(x)的表达式的分子是个二次函数，二在定义域内，分母x>0，故只需分子的判别式Δ=4+4a>0，即a>-1二次函数的图像就会与x轴有两个交点，因此就一定会有h'(x)<0的时刻，也就是h(x)存在单调递减区间。结论：a的取值范围为a>-1.