二元函数重极限存在性问题，求解答？
问题是第一张图片里的重极限是否存在。这个问题之前我提问过一次，但没有得到我想要的答案
。有两位答主（L和A）回答了这个问题，首先感谢他们的回答，但是我觉得回答有些不妥，然后因为修改了两次，问题被封了，所以我重新提出了这个问题，希望能得到解答，如果我判断错误的话，希望我的错误能被指出。L答主给出了以y=kx的方式趋近于（+∞，+∞）的极限结果，然后判断极限是0，这应该是不对的。A答主的图贴在下面，通过将x与y的大小关系分成三类，来判断极限是0，我认为这也是不严谨的，这并没有刻画（x，y）趋近（+∞，+∞）的全部方式，还有可能以图3的方式趋近（+∞，+∞），在S答主的讨论里面就漏掉了。希望还有答主能给出回答，谢谢！
9.21号更新，我自己用ε-δ语言证出来了，谢谢大家。
不是不能用这个不等式，是用了这个不等式之后，仍然无法求出极限。
令y=kx代入，求得的极限是k的函数，与k有关，k取不同值极限不同，所以极限不存在。
因为y=kx只是yx同时趋于零的一种特殊情况，极限存在要求，yx以任何方式趋于0，极限存在且相等才可。
例如：
|||得|f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x)
显然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在
当x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的 所以不存在
而当x->0,y->0时
由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|)
而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^2
所以|f|<=|x|+|y|
所以显然当x->0,y->0时，f的极限就为0
扩展资料：
必须注意，所谓二重极限存在，是指P（x，y）以任何方式趋于P0（x0，y0）时，f（x，y）都无限接近于A.因此，如果P（x，y）以某一特殊方式。
例如：
沿着一条定直线或定曲线趋于P0（x0，y0）时，即使f（x，y）无限接近于某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在.但是反过来，如果当P（x，y）以不同方式趋于P0（x0，y0）时，f（x，y）趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。
参考资料来源：百度百科-二元函数
①. 动点沿x轴趋向+∞,此时恒有y=0，k=0;
②. 动点沿y轴趋向+∞, 此时恒有 x=0，k=+∞；
③. 动点在第一象限内沿直线y=kx趋向+∞；此时(1+k)/√(1+k³)是某个常量(0<k<+∞)。
无论哪种情况，此极限都等于0;
就是一个设列等式，假设y=kx，详细过程如图rt所示……希望能帮到你解决你心中的问题
我再给你一种无需讨论的方法:
把(x^{3/2},y^{3/2})化到极坐标: x=(rcost)^{2/3}, y=(rsint)^{2/3}, 那么当x->+oo, y->+oo时r->+oo, 而(x+y)/(x^3+y^3)^{1/2}=r^{-1/3}((cost)^{2/3}+(sint)^{2/3})->0, 其中r^{-1/3}是无穷小量, ((cost)^{2/3}+(sint)^{2/3})是有界量.