急！初三数学勾股题：“勾三,股四,弦五”。观察：3.4.5；5.12.13.7.24.25；...,发现这些勾股数的勾都是奇

Question

我们学习了勾股定理后。都知道,“勾三,股四,弦五”。观察：3.4.5；5.12.13；7.24.25；......,发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过事实上，勾是三时，股和弦的算式分别是1/2（9-1），1/2（9+1）；勾是五时，股和弦的算式分别是1/2（25-1）；1/2（25+1）。
①根据你发现的规律，请用含n（n为奇数，且n大于或等于3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾，股，弦，合情猜想它们之间的相等关系（请写一种）并加以证明
②继续观察4，3,5；6,8,10；8,15,17;...,可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数，且m＞4）的代表式来表示股和弦！
（请详细的回答，答得好有分加嗯）

Answer 1

1. 设勾为n,猜测：股为 1/2(n^2-1) ,弦为1/2(n^2+1)
证明：由勾股定理，n^2+[1/2(n^2-1)]^2=n^2+1/4(n^4-2n^2+1)
=1/4(n^4+2n^2+1)
=[1/2(n^2+1)]^2
故猜测成立。
2.设勾为偶数m（m>4),可得到股为：1/4(m^2-4),弦为：1/4(m^2+4)
ps:n^2就是n的平方的意思~~

Answer 2

(1)由题可知：
规律：n 1/2(n^2-1) 1/2(n^2+1)
股，弦，合情猜想它们之间的相等关系为：
n^2+[1/2(n^2-1)]^2 =[1/2(n^2+1)]^2
证明：n^2+[1/2(n^2-1)]^2
=n^2+1/4(n^4-2n^2+1)
=1/4(n^4+2n^2+1)
=[1/2(n^2+1)]^2
所以：n 、1/2(n^2-1)、1/2(n^2+1)符合勾股定理，它们之间的相等关系成立

Answer 3

勾：n
股：1/2（n平方-1）
弦：1/2 (n平方+1）

证： （勾）平方=（股）平方+（弦）平方

把上面的代数式代入即可。

Answer 4

好，这个问题好，长见识了