函数奇偶性与周期性

Question

1.若f(x)关于x=a与x=b对称（a小于b），则它是周期函数，周期为——
若f(x)关于x=a同时与(b,0)对称（b不为0），则它周期为——
若f(x)关于(a,0)同时与(b,0)对称,则它周期为——
2.周期函数不一定有最小正周期，为什么？
3.loga[（1-x）/(1+x)]
loga[x+√(x2+1)]这两个函数的奇偶性
（麻烦给出详细过程或理由)
O(∩_∩)O谢谢 （下图是3的两个函数）

Answer 1

1、
1>
f(x)关于x=a对称（轴对称）
=>
f(a-x)=f(a+x)
=>
f(a-x)=f(2a-(a-x))
=>
f(x)=f(2a-x)
同理可得
f(x)=f(2b-x)
=>
f(2a-x)=f(2b-x)
=>
f(2a-x)=f((2a-x)+(2b-2a))
=>
f(x)=f(x+(2b-2a))
=>
周期T=绝对值（2b-2a）=2b-2a

2>
f(x)关于(b,0)对称（点对称）
=>
f(b+x)=-f(b-x)
=>
f(x)=-f(2b-x)
=>
f(2a-x)=-f(2b-(2a-x))=-f(x+(2b-2a))
又
f(x)=f(2a-x)
=>
f(x)=-f(x+(2b-2a))
=>
f(x+(2b-2a))=-f((x+2b-2a)+(2b-2a))
=>
-f(x+2b-2a)=f(x+4b-4a)
=>
f(x)=f(x+(4b-4a))
=>
周期T=4b-4a

3>
由2>易知
f(x)=-f(2a-x)
以及
f(x)=-f(2b-x)
=>
-f(2a-x)=-f(2b-x)
=>
f(2a-x)=f(2b-x)
=>
f(2a-x)=f((2a-x)+(2b-2a))
=>
f(x)=f(x+(2b-2a))
=>
周期T=绝对值（2b-2a）=2b-2a

2、周期函数不一定有最小正周期，为什么？
一般，对周期函数的最主要性质的概括就是
f(x)=f(x+T)......(T不等于0)
所谓不存在最小正周期
也就是
满足等式的T存在，但求不出最小值
其中一种情况就是T为无穷小（无限逼近于零）
这时的周期是无法用一个常数表达的
比如
f(x)=C(C为一个常数)
又比如狄利克莱函数，道理一样。

3、奇偶性
1>
1)考察定义域
（1-x）/(1+x)>0
=>
(-1,1)
=>
关于元点对称
2)判断奇偶性
f(x)=loga[(1-x)/(1+x)]=loga(1-x)-log(1+x)
=>
f(-x)=loga[(1+x)/(1-x)]=loga(1+x)-log(1-x)
=>
f(x)=-f(-x)
=>
奇函数

2>
1)考察定义域
x+√(x2+1)>0
=>
定义域R关于元点对称
2)判断奇偶性
f(x)+f(-x)
=loga[x+√(x^2+1)]+ loga[-x+√((-x)^2+1)]
=loga{[x+√(x^2+1)]*[-x+√((-x)^2+1)]}
=loga(1)
=0
=>
f(x)=-f(-x)
=>
奇函数