相似三角形的周长比等于它们的对应边之比。
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。这意味着它们的对应角相等，对应边的比例相等。根据比例的性质，如果两个三角形的对应边之比为1：k（k为正实数），则这两个三角形就是相似的。
现在我们来证明相似三角形的周长比等于它们的对应边之比。假设有两个相似的三角形ABC和A'B'C'，其中AB/A'B'=k，BC/B'C'=k，AC/A'C'=k。我们需要证明（AB+BC+AC）/（A'B'+B'C'+A'C'）=k。
根据相似三角形的性质，我们有∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'。因此，我们可以得出∠A+∠B+∠C=∠A'+∠B'+∠C'。又因为三角形内角和为180°，所以∠A+∠B+∠C=180°，∠A'+∠B'+∠C'=180°。
现在我们可以计算周长比了。根据勾股定理，我们有AB²+BC²=AC²，A'B'²+B'C'²=A'C'²。将这两个等式相加，我们得到AB²+BC²+A'B'²+B'C'²=AC²+A'C'²。由于AB/A'B'=k，BC/B'C'=k，我们可以得出AB²+BC²=（k²）AB²，A'B'²+B'C'²=（k²）A'B'²。将这些代入上面的等式，我们得到（k²）AB²+（k²）A'B'²=（k²）AC²+（k²）A'C'²。化简后得到AB²+A'B'²=AC²+A'C'²。
最后，我们将这个等式与勾股定理结合，得到AB²+BC²+AC²=A'B'²+B'C'²+A'C'²。这意味着（AB+BC+AC）/（A'B'+B'C'+A'）=k。因此，相似三角形的周长比等于它们的对应边之比。
相似三角形的周长比在生活中的应用：
相似三角形的周长比在实际生活中有广泛的应用。例如，测量高楼建筑物的高度或深度时，可以通过在地面上选取两个观测点，分别测量这两个点与建筑物顶部的连线所形成的三角形与已知三角形的相似度，从而依据相似三角形的性质推算出建筑物的高度。
此外，相似三角形的知识也可以应用于估算远离我们的大型物体的大小或形状。例如，对于一些我们不能直接接触到的远处的大楼或山峰，我们可以通过观察并利用相似三角形的性质，结合已知的一些信息（如自身的高度或宽度），来估计其大小。
再者，相似三角形的周长比等于相似比这一性质，也可以应用于解决一些与比例相关的问题。比如在设计中，设计师可以通过比较相似三角形的周长比来确定模型的比例关系。