齐次线性方程组有非零解的充要条件是什么？

Question

如题所述

Answer 1

齐次线性方程组指的是常数项全部为零的线性方程组。

如果m<n(行数小于列数，即未知数的数量大于所给方程组数》，则齐次线性方程组有非耍解，否则为全零解。

性质

齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。

2.齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。

3.齐次线性方程组的系数矩阵秩 r(A)=n，方程组有唯一零解齐次线性方程组的系数矩阵秩 r()<，方程组有无数多解。

4.n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。

定义

定理1

齐次线性方程组 有非零解的充要条件是 r(A)即系阵A的小于未知量的个数推论。

齐次线性方程组 仅有零解的充要条件是 r(r(4)n。

结构

齐次线性方程组解的性质

定理2 若x是齐次线性方程组的一个解，则kx也是它的解，其中k是任意常数定理3 若x1,x2是齐次线性方程组的两个解，则 a1 +22 也是它的解定理4 对齐次线性方程组，若 )=” ，则存在基础解系，目基础解系所含向量的个数为 几一”，即其解空间的维数为n-r

求解步骤

1、对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵;

2、若 r(4) = ” =n (未知量的个) ，则原方程组仅有解，即  = 0，求解结束:若 r(A)=< n (未知量的个数) ，则原方程组有非零解，进行以下步骤:3、继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵，并写出同解方程组;

4、选取合适的自由未知量，并取相应的基本向量组，代入同解方程组，得到原方程组的基础解系，进而写出通解。