什么是坐标的轮换对称性?

Question

如题所述

Answer 1

坐标的轮换对称性指的是在坐标系中，将坐标轴逆时针或顺时针旋转某个角度后，平面中的点保持不变或与原始位置相对称的性质。这种变换称为坐标的轮换对称变换。

轮换对称性是一个非常重要的数学概念，在许多领域中都有应用，尤其是在物理学和几何学中。例如，在对称的蛋白质结构中，轮换对称性可以用来描述分子的对称性质。在几何图形中，轮换对称性可以帮助我们识别图形的特征，并为许多几何问题提供解决方案。

在坐标系中，可以将轮换对称性看作一种旋转操作。例如，将坐标系绕原点顺时针旋转90度，相当于将原来的x坐标变成-y坐标，将原来的y坐标变成x坐标。这个操作就是一个二阶轮换对称性，即最多需要旋转两次才能使图形回到原来的位置。

轮换对称性的概念在高等数学和抽象代数中也有广泛应用，用来描述复杂的对称性结构，如对称群、李群等。

Answer 2

坐标的轮换对称性，简单的说就是将坐标轴重新命名，如果积分区间的函数表达不变，则被积函数中的x,y,z也同样作变化后，积分值保持不变。

特点及规律
(1) 对于曲面积分，积分曲面为u(x,y,z)=0，如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,z,x后，u(y,z,x)仍等于0，即u(y,z,x)=0， 也就是积分曲面的方程没有变，那么在这个曲面上的积分 ∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,z,x)dS；如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,x,z后，u(y,x,z)=0，那么在这个曲面上的积分 ∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,x,z)dS；如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成z,x,y后，u(z,x,y)=0，那么在这个曲面上的积分 ∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(z,x,y)dS ，同样可以进行多种其它的变换。
(2) 对于第二类曲面积分只是将dxdy也同时变换即可 ，比如：如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,z,x后，u(y,z,x)=0，那么在这个曲面上的积 分 ∫∫f(x,y,z)dxdy=∫∫f(y,z,x)dydz,∫∫f(x,y,z)dydz=∫∫f(y,z,x)dzdx, ∫∫f(x,y,z)dzdx=∫∫f(y,z,x)dxdy。
(3) 将(1)中积分曲面中的z去掉，就变成了曲线积分满足的轮换对称性:积分曲线为u(x,y)=0，如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成y,x后，仍满足u(y,x)= 0，那么在这个曲线上的积分 ∫∫f(x,y)ds=∫∫f(y,x)ds；实际上如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成y,x后，仍满足u(y,x)=0，则意味着积分曲线关于直线y=x对称 。第二类三维空间的曲线积分跟（2）总结相同同。但第二类平面上的曲线积分不同∫f(x,y)dx=-∫∫f(y,x)dy.(注意前面多了一个负号）
(4) 二重积分和三重积分都和(1)的解释类似，也是看积分域函数将x,y,z更换顺序后，相当于将坐标轴重新命名，积分区间没有发生变化，则被积函数作相应变换后，积分值不变。