惠更斯的单摆公式T=2丌√L/g是怎么得来的？

Question

如题所述

Answer 1

惠更斯当时是靠精确统计得出的公式，后来微积分发明之后可以直接从理论上推导。

受力分析：当摆球的偏角为θ时，小球受重力mg与绳子拉力。重力沿绳方向的分量一定与绳子拉力平衡，这样小球的合力就等于mgsinθ，方向垂直与绳向下。对于单摆，摆角是很小的，这样摆球可以近似看做水平运动，并且mgsinθ≈mgθ，摆球的加速度就为gθ，指向平衡位置。而此刻摆球的位移为Lθ。
所以可以列微分方程L(d^2θ/dt^2)=-gθ （因为指向位移与加速度方向相反，所以取负号）
此方程的通解为θ=Asin(ωt+φ)，其中角频率ω=√g/L
再根据角频率的定义ω=2π/T，得出T=2π√L/g

Answer 2

自己网上找了一下都是要用微积分推导的，自己算了半天终于搞定，没有用到一点超纲内容，分享下！
由简谐运动定义得F=-kx
由于计算周期，只需考虑最大位移处，即振幅，是标量（下同），得
F=kA
根据向心力公式F=mω^2r
由于此时半径为振幅，则F=mω^2A
代入定义式为kA=mω^2A
两边约去A，得k=mω^2
对此式变形ω^2=k/m
1/ω^2=m/k 1/ω=√(m/k)
通过对角速度公式ω=2π/T变形得
T=2π(1/ω)
代入前面计算的式子得T=2π√(m/k)
注意这个就是一般的简谐运动求周期公式，只是不教罢了，下面推出单摆公式
老师上课说过，当摆角很小时可近似得出
sinθ=F/mg=x/l
变形得F=mgx/l
参照简谐运动定义式F=kx，一一对应
得k=mg/l
将k代入前面算出的一般简谐运动周期公式T=2π√(m/k)
得T=2π√(m/(mg/l))
约去m，化简得T=2π√(l/g)
这就是单摆公式的推导