f(x+y)=f(x)f(y),如果函数是连续的，证明f(x)是指数函数

Question

如题所述

Answer 1

∵f(x)=f(x/2)*f(x/2)=[f(x/2)]²≥0
∴lnf(x+y)=lnf(x)+lnf(f)
令g(x)=lnf(x)
∵f(x)连续
∴g(x)连续
且g(x+y)=g(x)+g(y)
由柯西定理g(x)=xg(1)
∴lnf(x)=xlnf(1)
∴f(x)=e^[x*lnf(1)]=e^[lnf(1)^x]=[f(x)]^x
令f(1)=a>0
则f(x)=a^x
∴f(x)是指数函数追问

实在没有看懂，你有十足的把握作对吗，是的话我经采纳了

追答

我是从自主招生考试书上抄来的，绝对没问题的
但你这里差一个条件，有点不严密。
就是f(x)恒不为零，从而推得f(x)>0
才能取对数。

Answer 2

∵ f(x+y)=f(x)f(y)
f(x+x)=f(x)f(x)=f(x)^2
f(2x)=f(x)^2
∴ f(nx)=f(x)^n

又∵ f(x)=a^x 是标准指数函数
f(nx)=a^（nx）=(a^x)^n=f(x)^n

∴f(x)是指数函数追问

这只能证明指数函数符合 f(x+y)=f(x)f(y)吧。。

追答

其实可以这样理解：
x+y 和 x 及 y 可以互换;
在证明中就是设y=x，然后推导出来的
而且可以这样
∵ f(x)=a^x 是标准指数函数
∴f(0)=a^0=1
设 y=0 时
f(x+0)=f(x)f(0)
左边：f(x+y)=f(x+0)=f(x)
右边：f(x)f(0)=f(x)*1=f(x)
公式也是成立的
这已经是完全证明了。

追问

你的证明我能明白，但是你是由 f(x)=a^x 推出 f(x+y)=f(x)f(y)，而不是由 f(x+y)=f(x)f(y)推出f(x)=a^x

追答

你说的有点道理，我再帮你换个角度证明：

∵f(x+y)=f(x)f(y)
∴f(x)=f(x+y)/f(y)
令y=0
f(x)=f(x)/f(0)
f(0)=1
令y=1
f(x)=f(x+1)/f(1)
当x=1 对 f(x)=f(x+1)/f(1)
f(1)=f(2)/f(1)
f(2)=f(1)^2
当x=2 对 f(x)=f(x+1)/f(1)
f(2)=f(3)/f(1)
f(3)=f(1)*f(2)
=f(1)*f(1)^2
=f(1)^3
f(n)=f(1)^n
则：
f(x)=f(1)^x
f(1)是常数，可以令f(1)为a
f(x)=a^x
∴f(x)是指数函数

追问

不连续啊，你的f(n)=f(1)^n里面n是整数，指数函数里的变量是实数。。。