定积分求体积，面积

Question

y=√(x+4)和x,y轴围成的阴影的面积。
1：绕着直线y=2旋转，求旋转所得体积（用两种方法）
2：绕着y轴旋转，求旋转所得体积。（用两种方法）

y=√(x+4)与x=-4和y=2围成的阴影的面积
3：求用一直线y=a，使得这个阴影面积二等分。

我算了好多次，每次答案都不同。求高手解答。
最好给出步骤算出答案下。我答案算了很多次，每次都有点出入。明天又有其他科目考试，没时间再验算了。

Answer 1

第一题 第二题的两种方法 是：
1：直接求所求部分体积
2：利用体积差求 所求部分体积

第三题：
求出阴影面积A，求出y=√(x+4)与x=-4和y=a围成的阴影的面积A1，
满足条件A=2A1就可以了。

关于体积积分、面积积分的问题：
体积积分：
绕x轴 或 绕x轴平行的线 旋转，都是对x积分；绕y轴积分 和 绕x轴积分 不一样，要对y积分，所以 x和y 要变换一下，如本题：x=y^2-4，对绕y轴积分就是对 pi*(y^2-4)^2 * dy 积分，y的范围从0到2.
面积积分：
上面的曲线y值y1 下面曲线的y值y2，对(y1-y2)*dx 积分。追问

我第一题用2π∫从-4到0 x*(根号x+4) 这个定积分好像算不出来。

追答

用矩形ABOD绕y=2的体积，减去阴影部分的体积，阴影部分的体积是pi * (2-y)^2 * dx

Answer 2

解 ：y=√(x+4)是半个抛物线，在X轴上方，顶点为（-4，0），与Y轴交点为（0，2），封闭图形区间为[-4，0]，
S=∫[-4，0] √(x+4)dx=(2/3)(x+4)^(3/2)[-4,0]
=16/3.
1、方法1：令y’=y-2,则X轴向上移动2个单位，阴影区域围绕新X轴旋转，形成外面是圆柱面，内是空心的旋转抛物面，
空心体积V1=π∫[-4,0][√(x+4)-2]^2dx
=π∫[x+8-4√(x+4)][-4,0]
=π[x^2/2+8x][-4,0]-4π(2/3)(x+4)^(3/2)[-4,0]
=24π-(8π/3)*8
=8π/3.
圆柱体积V2=π*2^2*4=16π,
则所要求旋转体体积V=16π-8π/3=40π/3。
方法2：空心部分：V1=π∫[-4，0][2-√(x+4)]^2dx
=8π/3.
圆柱体积V2=π*2^2*4=16π，
旋转体体积V=16π-8π/3=40π/3。
y=√(x+4)与x=-4和y=2围成的阴影的面积
矩形面积S1=4*2=8，
矩形面积去掉原阴影面积即为所求面积，
8-16/3=8/3。
2、x=y^2-4,(0<=y<=2)
绕Y轴旋转体积V=π∫[0，2](y^2-4)^2dy
=π∫(y^4-8y^2+16)[0,2]
=π(y^5/5-8y^3/3+16y)[0,2]
=256π/15.
3、y=a把阴影面积均分，与原曲线交点坐标为（a^2-4,a）,
S=∫[a^2-4,0] √(x+4)dx-a*(a^2-4)=8/3,
5a^3-12a-8=0,
近似计算，可用卡丹公式解三次方程，
a≈-3.064.

Answer 3

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