设P是△ABC内一点．求：P到△ABC三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围．

Question

设P是△ABC内一点．求：P到△ABC三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围．

Answer 1

分析：不妨设AB>=BC，AB>=AC，则点P与点C重合时，点P到△ABC三顶点的距离和为：
PA+PB+PC=BC+AC最短；又点P在△ABC内，所以PA+PB+PC>BC+AC；
又AB<BC+AC；所以P到△ABC三顶点的距离和与三角形周长之比：
(PA+PB+PC)：(AB+BC+AC)>(BC+AC):(2BC+2AC)=1/2.
再不妨设AB>=BC，AC>=BC，则点P与点A重合时，点P到△ABC三顶点的距离和为：
PA+PB+PC=AB+AC最长；点P在△ABC内，所以PA+PB+PC<AB+AC；
又BC>0，所以P到△ABC三顶点的距离和与三角形周长之比：
(PA+PB+PC)：(AB+AC+BC)<(AB+AC):(AB+AC)=1.
所以P到△ABC三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围为(1/2,1)

Answer 2

2pC＞△C，则pC＞1/2△C
因为p点在三角形里，所以pC＜△C
则△C＞pC＞1/2△C