已知函数f(x)对任意的x,y属于R,总有f(x)+f(y)=f(x+y)

Question

已知函数f(x)对任意的x,y属于R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x〉0时，f(x)<0,f(1)=-2/3
判断并证明f(x)在R上的单调性
求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值

Answer 1

设x1>x2
f(x1)-f(x2)
=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)
=[f(x1-x2)+f(x2)]-f(x2)
=f(x1-x2)
因为x1>x2 所以x1-x2>0 所以f(x1-x2)<0
即f(x1)-f(x2)<0
x1>x2时 f(x1)<f(x2)
f(x)在R上单调递减

f(x)在[-3,3]上的最大值为f(-3) 最小值为f(3)
f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-2
因为f(0)+f(1)=f(1)所以f(0)=0
f(0)=f(-1)+f(1)
f(-1)=f(0)-f(1)=2/3
f(-3)=3f(-1)=2
即f(x)在[-3,3]上最大值为2 最小值为-2

Answer 2

设x1>x2.f(x1)=f(x1)+f(x1-x2).x1-x2>0.所以f(x1-x2)<0.f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)<0,f(x1)<f(x2).所以f(x)为减函数.
因为f(x)+f(y)=f(x+y),所以f(0)+f(0)=f(0+0)=f(0)所以f(0)=0.f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0.f(x)=-f(-x)
因为f(x)为减函数,所以在[-3,3]区间上,在x=3时取最小值,在x=-3时取最大值,f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1),f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1),所以f(3)=3f(1)=-2,因为f(x)=-f(-x),所以f(-3)=-f(3)=2.所以他的最大值为2,最小值为-2

Answer 3

令y>0,则x+y>x,又y>0时f(y)<0,所以由f(x)+f(y)=f(x+y),得
f(x)=-f(y)+f(x+y)<f(x+y)
所以f(x)为单调递减函数
所以f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值分别为f(-3)和f(3)
f(3)=f(2)+f(1)=3f(1)=-2
令y=0,则f(x)+f(0)=f(x)
所以f(0)=0
f(-3)+f(3)=f(0)=0
所以f(-3)=2

Answer 4

令y>0,则x+y>x,又y>0时f(y)<0,所以由f(x)+f(y)=f(x+y),得
f(x)=-f(y)+f(x+y)<f(x+y)
所以f(x)为单调递减函数
所以f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值分别为f(-3)和f(3)
f(3)=f(2)+f(1)=3f(1)=-2
令y=0,则f(x)+f(0)=f(x)
所以f(0)=0
f(-3)+f(3)=f(0)=0
所以f(-3)=2

Answer 5

1，
(1)
设x1<x2,令t=x2-x1，则有t>0，依题意有
f(x2)-f(x1)=f(t+x1)-f(x1)=f(t)<0
即证f在R上是减函数。
(2)
由于f在R上是减函数，故在[-3,3]上的最大值与最小值分别是f(-3),f(3)
f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=3f(1)=-2
又由于
f(1)=f(0+1)=f(0)+f(1)
故有f(0)=0
又f(0)=f(-3+3)=f(-3)+f(3)
故有f(3)=-f(3)=2
2，是不是题写错la
由f(-x+5)=f(x-3)得该二次函数的对称轴为
x=((-x+5)+(x-3))/2=1
但f(x)=ax^2+b的对称轴很明显是x=0