已知函数f(x)对任意实数x,y∈R,总有f(x)+f(y)= f(x+y)

Question

已知函数f(x)对任意实数x,y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)=-2/3 (1)求证:f(x)在R上是奇函数 (2)求证:f(x)在R上是减函数 (3)求f(x)在【-3，3】上的最大值和最小值.

Answer 1

(1)
f(x)+f(y)=f(x+y),
令x=y=0,有f(0)+f(0)=f(0),所以f(0)=0
再令y=-x有f(x)+f(-x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x)
所以函数是奇函数。
(2)
设x1>x2,即x1-x2>0
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)
因为当x>0时，f(x)<0,所以
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)<0
所以f(x)是R上的减函数
(3)
因为f(x)在R上是减函数
所以f(x)在[-3，3]上的最大值是f(-3)，f(x)在[-3，3]上的最小值是f(3)
由题意可知，f(3)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-2，即f(x)的最小值等于-2
f(-3)=-f(3)=2，即f(x)的最大值等于2