已知函数f(x)对任意x,y属于R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)

Question

已知函数f(x)对任意x,y属于R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)。当x>0时，f(x)<0,且f(-1)=2,求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值。

Answer 1

解：函数f(x)的定义域为R,且对任意x,y属于R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)

令：x=y=0代入可得：f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0

令y=-x代入可得：f(x-x)=f(x)+f(-x),

即f(0)=f(x)+f(-x), 从而 f(x)+f(-x)=0

所以：f(-x)=-f(x)

设任意实数x1,x2,且x1＜x2

则有：f(x2)-f(x1)=f(x2)+[-f(x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)

由已知条件，x＞0时,有f(x)＜0；

现在x2-x1＞0，所以得到f(x2-x1)＜0,

即f(x2)-f(x1)＜0，由于x1＜x2，且都是实数。

f(x)在R上是减函数。

∵f(-1)=2

∴f(-2)=2f(-1)=4

f(-3)=f(-1)+f(-2)=6

f(3)=-6

∴最大值6，最小值-6

Answer 2

①令y=0
则f(x)=f(x)+f(0)
所以f(0)=0
②任取x1<x2，令x=x1，y=x2-x1
则y>0，所以f(y)=f(x2-x1)<0
从而：f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)<f(x1)
所以f(x)单调递减
③令y=-x
则f(0)=f(x)+f(-x)
所以f(-x)=-f(x)
f(x)是奇函数
④f(-1)=2，所以f(-2)=f(-1)+f(-1)=4
f(-3)=f(-1)+f(-2)=6
因为奇偶性，所以f(3)=-f(-3)=-6

所以f(x)在[-3,3]上的最大值为f(-3)=6，最小值为f(3)=-6

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Answer 3

解：
令x=y=0，得f（0）=2f（0）
所以f（0）=0；
再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），f（x）=-f（-x）
所以f（x）为奇函数；
设x>y>0，则带入得，f（x+y）=f（x）+f（y）
观察可知，上面三项全是负数，所以得到f（x+y）<f（x），这表明f（x）在x>0的范围是递减函数，又根据其为奇函数，所以在x<0时，f（x）仍单调递减。
即f（-3）为最大值，f（3）为最小值，
令x=y=-1，得f（-2）=4，
f（-3）=f（-2）+f（-1）=6
f（3）=-f（-3）=-6。