凸函数的性质之一为：定义在某个开区间C内的凸函数f在C内连续，且在除可数个点之外的所有点可微。如果C是闭区间，那么f有可能在C的端点不连续。
固定t和u，令s趋近于t，右边是一个有界常数，可得左边为f(x)在t这一点的左导数，
由于t的任意性可得，f(x)的左导数存在，这说明f(x)是左连续的。
由前面的不等式还可以证明（1-λ）（f(t)-f(s))≤λ（f(u)-f(t))
推出（f(t)-f(s))/(t-s)≤（f(u)-f(t))/(u-t)。
固定s和u，令t趋近于s，右边是一个有界常数，可得左边为f(x)在s这一点的右导数，
由于s的任意性可得，f(x)的右导数存在，这说明f(x)是右连续的。
综上可得凸函数f(x)在开区间内是连续的。
凸函数初等运算
1、如果f和g是凸函数，那么m(x)=max{f(x)，g(x)}和h(x)=f(x)+g(x)也是凸函数。
2、如果f和g是凸函数，且g递增，那么h(x)=f(g(x))是凸函数。
3、凸性在仿射映射下不变：也就是说，如果f（x）是凸函数，那么g(y)=f(Ay+b)也是凸函数。
凸函数的性质之一为： 定义在某个开区间C内的凸函数f在C内连续，且在除可数个点之外的所有点可微。如果C是闭区间，那么f有可能在C的端点不连续。
固定t和u，令s趋近于t，右边是一个有界常数，可得左边为f(x)在t这一点的左导数，
由于t的任意性可得，f(x)的左导数存在，这说明f(x)是左连续的。
由前面的不等式还可以证明(1-λ)(f(t)-f(s))≤λ(f(u)-f(t))
推出(f(t)-f(s))/(t-s)≤(f(u)-f(t))/(u-t)。
固定s和u，令t趋近于s，右边是一个有界常数，可得左边为f(x)在s这一点的右导数，
由于s的任意性可得，f(x)的右导数存在，这说明f(x)是右连续的。
综上可得凸函数f(x)在开区间内是连续的。
扩展资料：
一元可微函数在某个区间上是凸的，当且仅当它的导数在该区间上单调不减。
一元连续可微函数在区间上是凸的，当且仅当函数位于所有它的切线的上方：对于区间内的所有x和y，都有f(y) > f(x) + f '(x) (y − x）。特别地，如果f '(c) = 0，那么c是f(x）的最小值。
一元二阶可微的函数在区间上是凸的，当且仅当它的二阶导数是非负的；这可以用来判断某个函数是不是凸函数。如果它的二阶导数是正数，那么函数就是严格凸的，但反过来不成立。例如，f(x) = x4的二阶导数是f "(x) = 12 x2，当x = 0时为零，但x4是严格凸的。
参考资料来源：百度百科-凸函数
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