把微元面积当圆台处理。圆台的侧面积公式=（上周长+下周长）/2 X 母线长，这母线长就是弧元长ds。得来全不费功夫，总是找到理论根据了哈。下面是正式的圆台公式：
圆台侧面积s=π(r1+r2)√((r1-r2)^2+h^2)
圆台的体积v=πh/3(r1^2+r1r2+r2^2)
截面近似圆台的上半径r1=y+dy，下半径 r2=y, 高h=dx
dS=π(y+y+dy)√(dx^2+dy^2)=π(2y+dy)√(dx^2+dy^2)
dV=πdx/3(y^2+y(y+dy)+(y+dy)^2) =π/3(3y^2+3ydy+dy^2)dx
舍掉二阶无穷小项，有：
dV=πy^2 dx， dS=2πy √(dx^2+dy^2）
所有的谜团都完美解决，也掌握微元的推导方法，对微元计算不可凭想象胡猜。那篇文章总算点到要点了，圆台侧面积公式是关键。圆台的侧面积公式=（上半径+下半径）X π X 母线长。母线长就是积分中的弧元长， 这应该满意了吧。这个问题就算彻底解决了，用积分解决问题的水平大大提高。
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第1个回答 2014-08-07
曲面面积公式：S=∫∫（D)√1+（ψz/ψy)^2+(ψz/ψx)^2 dxdy
if球的半径为a
取上半球的方程z=√a^2-x^2-y^2
它在x0y上的投影区域D=(x,y)x^2+y^2≤a^2
ψz/ψy=-x/√a^2-x^2-y^2
ψz/ψx=-y/√a^2-x^2-y^2
√1+（ψz/ψy)^2+(ψz/ψx)^2 =a/√a^2-x^2-y^2
因为该函数在D上无界,不能直接用面积公式,弦先去一个区域D1=(x,y)x^2+y^2≤b^2 (0＜b＜a)
计算出面积后使b→a,便计算出面积
S1=∫∫（D1)a/√a^2-x^2-y^2 dxdy
用极坐标：
S1=∫∫（D1)a/√a^2-ρ^2 ρdρdθ=a*∫(2π,0)dθ*∫(b,0)ρdθ/√a^2-ρ^2
=2πa*∫(b,0)ρdθ/√a^2-ρ^2
=2πa(a-√a^2-b^2)
当b→a
求得S=2πa^2
这是半个球的面积
S球=4πa^2追问
if球的半径为a
取上半球的方程z=√a^2-x^2-y^2
它在x0y上的投影区域D=(x,y)x^2+y^2≤a^2
ψz/ψy=-x/√a^2-x^2-y^2
ψz/ψx=-y/√a^2-x^2-y^2
√1+（ψz/ψy)^2+(ψz/ψx)^2 =a/√a^2-x^2-y^2
因为该函数在D上无界,不能直接用面积公式,弦先去一个区域D1=(x,y)x^2+y^2≤b^2 (0＜b＜a)
计算出面积后使b→a,便计算出面积
S1=∫∫（D1)a/√a^2-x^2-y^2 dxdy
用极坐标：
S1=∫∫（D1)a/√a^2-ρ^2 ρdρdθ=a*∫(2π,0)dθ*∫(b,0)ρdθ/√a^2-ρ^2
=2πa*∫(b,0)ρdθ/√a^2-ρ^2
=2πa(a-√a^2-b^2)
当b→a
求得S=2πa^2
这是半个球的面积
S球=4πa^2追问
不明觉厉。。不用面积积分可以吗，你能指出我的错在哪里吗？
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