已知定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数为f'(x),满足f'(x)<f(x)且f(0)=1

Question

则不等式f(x)<e^x的解集？

Answer 1

解答：
构造函数
F(x)=f(x)/e^x
则F'(x)=[f'(x)*e^x-e^x*f(x)]/(e^x)²
=[f'(x)-f(x)]/e^x
∵ f'(x)<f(x)
∴ F'(x)<0
∴ F(x)是一个减函数
∵ F(0)=f(0)/e^0=1
∴ F(x)<1=F(0)的解是x>0
即 f(x)/e^x<1的解是x>0
∴ f(x)<e^x的解是x>0
∴ 不等式的解集是{x|x>0}