一阶线性非齐次微分方程求通解。不要带公式的做法。 先把它转化成齐次的，再带入原方程。这种做法有没？

Question

有会的。 这两道题。没人知道这种方法吗？叫做常数变易法。

Answer 1

求微分方程 dy/dx+2xy=e^(-x²)满足y(0)=0的特解；
解：先求齐次方程 dy/dx+2xy=0分通解：
分离变量得：dy/y=-2xdx；积分之得：lny=-x²+lnc₁；
故齐次方程的通解为：y=c₁e^(-x²)；
将c换成x得含数u，得y=ue^(-x²).........(1)；取导数得：dy/dx=u'e^(-x²)-2xue^(-x²)........(2)
将(1)(2)代入原式得：u'e^(-x²)-2xue^(-x)+2xue^(-x²)=e^(-x²)
化简得：u'e^(-x²)=e^(-x²)，故u'=du/dx=1，∴u=x+c；
代入(1)式即得原方程的通解为：y=(x+c)e^(-x²)；代入初始条件y(0)=0即得c=0；
故原方程的特解为：y=xe^(-x²)；