高二 数学 函数的零点问题。 请详细解答,谢谢! (2 17:9:14)

Question

函数f(x)是定义域为R的周期为3的奇函数，且当x∈(0,1.5)时f(x)=ln(x2-x+1)，则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数是？

Answer 1

∵f(x)是定义域为R的奇函数，
∴一定有f(0)=0;
又∵f(x)是定义域为R的周期为3的函数，
∴一定有f(3k)=0;k为整数.
当x∈(0,1.5)时令f(x)=ln(x2-x+1)=0
则:x2-x+1=1;
解得x=0或x=1.在x∈(0,1.5)时有1个零点.
f(x)是奇函数，则在区间x∈(-1.5,0)时有1个零点.
根据周期性,则在区间x∈(1.5,3)时有1个零点.在区间x∈(1.5,3]时有2个零点.
在区间x∈(0,3]时有3个零点.
那么,在区间(0,6]上有3×2=6零点;则在区间[0,6]上的零点个数是6+1=7.

Answer 2

4

Answer 3

(0,1.5)1个（-1.5，0）1个 x=0有一个 [0,3) 3个 [3,6) 3 个 6一个
共7个

Answer 4

f(x)是定义域为R的奇函数，所以一定有f(0)=0，当x∈(0,1.5)时，令f(x)=ln(x2-x+1)=0，解得x=1，又f(x+3)=f(x)，
f(6)=f(3)=f(0)=0
f(4)=f(1)=0
f(5)=f(2)=f(-1)=-f(1)=0

Answer 5

当x∈(0,1.5)时
有零点
则f(x)=ln(x2-x+1)=0
得x2-x+1=1
x2-x=0
x=0(舍),x=1
所以f(1)=0
由因为函数f(x)是定义域为R的的奇函数
f(x)+f(-x)=0
x=0
得f(0)=0
周期为3函数
f(6)=f(3)=f(0)=0
f(4)=f(1)=0
综上有五个零点

Answer 6

解：由题设知，对任意实数x,恒有f(x)+f(-x)=0.且f(x+3)=f(x).且当0<x<1.5时，f(x)=ln(x^2-x+1).(1)显然，当x=0时，有f(0)=0.且f(6)=f(3)=f(0)=0.(2).当x=1时，因0<1<1.5.故f(1)=ln(1-1+1)=0.从而f(4)=f(1)=0.(3)当-1.5<x<0时，===>0<-x<1.5.===>f(-x)=ln(x^2+x+1)=-f(x).===>当-1.5<x<0时，f(x)=-ln(x^2+x+1).当x=-1时，f(-1)=-ln(1-1+1)=0.故f(5)=f(2)=f(-1)=0.综上知，f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=f(6)=0.即所求的0点个数为7个。