关于齐次线性微分方程的通解

Question

设非齐次线性微分方程y'+P(x)y=Q(x)有两个不同的解a(x),b(x),C为任意常数，求该方程的通解
答案应该是a(x)+C[a(x)-b(x)]，此题为06年考研数三第10题

解答
由于[a(x)]'+P(x)*a(x)=Q(x)①
[b(x)]'+P(x)*b(x)=Q(x)②
①-②得[a(x)-b(x)]'+P(x)*[a(x)-b(x)]=0
即a(x)-b(x)是齐次方程y'+P(x)y=0的一个特解，所以C[a(x)-b(x)]为齐次的通解。
齐次通解+非齐次特解=非齐次的通解。

我想知道
a(x)-b(x)是齐次方程y'+P(x)y=0的一个特解，所以C[a(x)-b(x)]为齐次的通解
这一步是怎么推导出来的，我在同济五版的书上没有找到相关的定理，是说齐次特解乘上任意常数C即是齐次通解吗？

Answer 1

二阶齐次、非齐次线性微分方程的解的特点与解的结构，你应该知道吧？一阶齐次、非齐次线性微分方程的解的特点与解的结构也是类似的.

解的特点：
一阶齐次：两个解的和还是解，一个解乘以一个常数还是解
一阶非齐次：两个解的差是齐次方程的解，非齐次方程的一个解加上齐次方程的一个解还是非齐次方程的解

通解的结构：
一阶齐次：y＝Cy1，y1是齐次方程的一个非零解
一阶非齐次：y＝y*＋Cy1，其中y*是非齐次方程的一个特解，y1是相应的齐次方程的一个非零特解

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这与直接套用公式得到的一阶线性方程的通解是一样的

Answer 2

解：∵齐次方程y"-6y'+9y=0的特征方程是r^2-6r+9=0，则r=3（二重实根）
∴此齐次方程的通解是y=(c1x+c2)e^(3x)
(c1,c2是常数)
∵设原方程的解为y=(ax^3+bx^2)e^(3x)
代入原方程，得(6ax+2b)e^(3x)=(x+1)e^(3x)
==>6a=1,2b=1
==>a=1/6，b=1/2
∴y=(x^3/6+x^2/2)e^(3x)是原方程的一个解
故原方程的通解是y=(c1x+c2)e^(3x)+(x^3/6+x^2/2)e^(3x)，即y=(x^3/6+x^2/2+c1x+c2)e^(3x)。