初一数学竞赛题 帮帮忙啊

一个自然数减去45后是一个完全平方数,这个自然数加上44后仍是一个完全平方数,求这个自然数。

这个数是1981
要用到平方差公式,不知道有没有别的方法?
设这个数为X,平方数分别为a^2(a的平方) ,b^2(b的平方)
列方程:X-45=a^2 X+44=b^2
2式减去1式得:b^2-a^2=89
由平方差公式:b^2-a^2=(b-a)(b+a)=89
其中a,b为自然数,b-a,b+a 也是自然数。(b+a>b-a)
而89因数只有1和89
故b-a=1,b+a=89
解之得:b=45,a=44
再代入方程中得X=1981
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第1个回答  2009-03-14
设此自然数减去45后的完全平方数为X^2
那么 X^2+45+44=(X+A)^2 (A为自然数)
X^2+89=X^2+2XA+A^2
2XA=89-A^2
X=(89-A^2)/2A =89/2A-A/2,又因为X为自然数,所以89-A^2>0,89>A^2 A≤9
89-A^2>2A,A^2+2A-89<0 (A+1)^2<90<100=10^2, A<9 且A为单数
当A=1时,X=44, A=3时,X=40/3(舍弃) A=5时,X=6.4(舍弃),A=7时,X=20/7(舍弃
所以此自然数为44^2+45=1981
第2个回答  2009-03-14
X-45=M^2 ①
X+44=N^2 ②
N^2-M^2=99 ③

所以,N^2=x+44>x-45=M^2,∴n>m.
由③式,89为两个自然数之积,但89为质数,它的正因数只能是1与89,于是n- m=1,n+m=89.解之,得n=45.代人②得x=45 2-44= 1981.故所求的自然数是1981
第3个回答  2009-03-14
X^2-Y^2=45+44=89即(X+Y)(X-Y)=89=89*1所以X=45 Y=44 X^2=2025 Y^2=1936 所以此数为1981
第4个回答  2009-03-14
假设自然数x,
x-45=p^2,x+44=q^2 ,q>p>0,整数
q^2-p^2=89 (质数)
(p+q)(q-p)=1*89
p+q=89,q-p=1
q=45,
x=45^2-44=1981

这个自然数1981
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