如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b（b＜a）,在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF都等于x，当

Question

如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b（b＜a）,在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积.

Answer 1

当a≤3b，x= 时，四边形面积S max = ,当a＞3b，x=b时，四边形面积S max =ab-b 2 .

设四边形EFGH的面积为S， 则S △ AEH =S △ CFG = x 2 , S △ BEF =S △ DGH = （a-x）（b-x）， ∴S=ab-2［ 2 + （a-x）（b-x）］ =-2x 2 +（a+b）x=-2（x- 2 + 由图形知函数的定义域为{x|0＜x≤b}. 又0＜b＜a,∴0＜b＜ ,若 ≤b,即a≤3b时， 则当x= 时，S有最大值 ; 若 ＞b,即a＞3b时， S（x）在（0,b］上是增函数， 此时当x=b时，S有最大值为 -2(b- ) 2 + =ab-b 2 , 综上可知，当a≤3b，x= 时， 四边形面积S max = , 当a＞3b，x=b时，四边形面积S max =ab-b 2 .